{"id":846,"date":"2026-10-22T10:30:35","date_gmt":"2026-10-22T10:30:35","guid":{"rendered":"https:\/\/hoge.gg\/fr\/mathematiques-amm-invariant-prix-onchain-2026\/"},"modified":"2026-10-22T10:30:35","modified_gmt":"2026-10-22T10:30:35","slug":"mathematiques-amm-invariant-prix-onchain-2026","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/hoge.gg\/fr\/mathematiques-amm-invariant-prix-onchain-2026\/","title":{"rendered":"Math\u00e9matiques des AMM : l’invariant qui fixe le prix on-chain"},"content":{"rendered":"

Chaque fois qu’un trader \u00e9change un jeton contre un autre sur Uniswap, Curve ou Aerodrome, il n’a en face de lui ni acheteur, ni vendeur, ni carnet d’ordres. Il a une \u00e9quation. Une seule ligne d’alg\u00e8bre, inscrite dans un smart contract, fixe le prix, pr\u00e9l\u00e8ve les frais et absorbe le risque. Comprendre un automated market maker (AMM), c’est donc comprendre cette \u00e9quation: ce que les concepteurs appellent l’invariant.<\/p>

Les pr\u00e9c\u00e9dents dossiers de HOGE Wire sur le design des AMM ont observ\u00e9 la machine de l’ext\u00e9rieur: le co\u00fbt pour le fournisseur de liquidit\u00e9, la formation du prix, la courbe devenue oracle, le cas particulier des stablecoins. Celui-ci ouvre le capot. Nous allons suivre la seule chose qui ne bouge jamais pendant un \u00e9change, la fonction tenue constante, et montrer comment sa forme g\u00e9om\u00e9trique commande tout le reste: le glissement, l’efficacit\u00e9 du capital, la perte intrins\u00e8que et, au bout du compte, qui gagne de l’argent et qui en perd. Les prix sont en euros, le cadre r\u00e9glementaire renvoie \u00e0 l’AMF et \u00e0 MiCA.<\/p>

Une \u00e9quation, pas un carnet d’ordres<\/h2>

Une Bourse classique fait se rencontrer des ordres: des acheteurs annoncent un prix d’achat, des vendeurs un prix de vente, et un moteur d’appariement croise les deux. Un AMM supprime cet interm\u00e9diaire. \u00c0 la place, il d\u00e9tient une r\u00e9serve de deux actifs (ou davantage) et impose une r\u00e8gle qui doit rester vraie en permanence. Cette r\u00e8gle est une fonction des r\u00e9serves, et un \u00e9change n’est autoris\u00e9 que s’il laisse cette fonction inchang\u00e9e, aux frais pr\u00e8s. Les chercheurs Guillermo Angeris et Tarun Chitra ont formalis\u00e9 cette famille sous le nom de constant function market makers<\/a> (teneurs de march\u00e9 \u00e0 fonction constante): une fonction d’\u00e9change est maintenue constante, et c’est elle, et elle seule, qui d\u00e9finit le march\u00e9.<\/p>

L’id\u00e9e remonte \u00e0 un billet de Vitalik Buterin publi\u00e9 sur ethresear.ch en mars 2018<\/a>, qui proposait la formule x\u00b7y=k comme teneur de march\u00e9 r\u00e9sistant au front-running et en cr\u00e9ditait l’\u00e9quipe de Gnosis; Hayden Adams en a fait Uniswap quelques mois plus tard. Le renversement conceptuel est le point cl\u00e9: la courbe ne r\u00e9agit pas \u00e0 un prix venu de l’ext\u00e9rieur, elle le produit. Le prix n’est qu’un sous-produit du rapport entre les r\u00e9serves. D\u00e9placez les r\u00e9serves, et vous avez d\u00e9plac\u00e9 le prix. Tout le reste de cet article d\u00e9coule de cette seule id\u00e9e.<\/p>

x\u00b7y = k : la g\u00e9om\u00e9trie de l’hyperbole<\/h2>

L’invariant canonique est le produit constant: le produit des deux r\u00e9serves ne change jamais. Notons x la r\u00e9serve d’ETH et y la r\u00e9serve d’euros; la r\u00e8gle est x\u00b7y = k. Trac\u00e9e sur un graphique, cette \u00e9quation dessine une hyperbole dans le quadrant positif. Un \u00e9change d\u00e9place le point le long de cette courbe, jamais en dehors: pour retirer de l’ETH, il faut ajouter des euros, de sorte que le produit reste \u00e9gal \u00e0 k. Math\u00e9matiquement, apporter une quantit\u00e9 d’euros revient \u00e0 retirer une quantit\u00e9 d’ETH donn\u00e9e par une relation simple, et c’est cette relation, et non une offre concurrente, qui fixe le prix.<\/p>

Prenons un exemple chiffr\u00e9, purement illustratif. Imaginons un pool de 100 ETH et 250 000 EUR, donc k = 25 000 000, et un prix affich\u00e9 de 2 500 EUR par ETH. Un acheteur veut 10 ETH. La r\u00e9serve d’ETH tombe \u00e0 90, donc la r\u00e9serve d’euros doit monter \u00e0 25 000 000 divis\u00e9 par 90, soit 277 777,78 EUR. L’acheteur verse donc 27 777,78 EUR pour 10 ETH, c’est-\u00e0-dire 2 777,78 EUR l’unit\u00e9: 11,1 % de plus que le prix affich\u00e9. Et le prix marginal, lui, est pass\u00e9 \u00e0 277 777,78 divis\u00e9 par 90, soit 3 086 EUR. La raison est g\u00e9om\u00e9trique: \u00e0 mesure que l’on vide un c\u00f4t\u00e9 du pool, la courbe se redresse, et chaque unit\u00e9 suivante co\u00fbte plus cher. L’AMM offre une liquidit\u00e9 infinie (on peut toujours \u00e9changer) mais \u00e0 un prix qui se d\u00e9grade sans limite.<\/p>

On peut \u00e9crire la r\u00e8gle encore plus simplement. Pour un apport de \u0394x euros, la quantit\u00e9 d’ETH re\u00e7ue vaut y multipli\u00e9 par \u0394x, divis\u00e9 par (x + \u0394x): le d\u00e9nominateur grossit \u00e0 chaque achat, donc le rendement de chaque euro suppl\u00e9mentaire diminue. C’est tout le secret de l’invariant: k ne mesure pas une valeur en euros (il change si le prix change) mais la profondeur du pool, la surface sous la courbe. Deux pools affichant le m\u00eame prix mais des k diff\u00e9rents offriront des glissements tr\u00e8s diff\u00e9rents sur le m\u00eame ordre.<\/p>

Le tableau ci-dessous montre ce glissement pour le m\u00eame pool. Ce n’est pas un d\u00e9faut de conception: c’est la contrepartie math\u00e9matique exacte de la garantie que le pool ne se videra jamais compl\u00e8tement.<\/p>

Achat<\/th>Prix moyen pay\u00e9<\/th>Impact moyen<\/th>Prix marginal apr\u00e8s<\/th><\/tr><\/thead>
1 ETH<\/td>2 525 EUR<\/td>+1,0 %<\/td>2 551 EUR<\/td><\/tr>
10 ETH<\/td>2 778 EUR<\/td>+11,1 %<\/td>3 086 EUR<\/td><\/tr>
25 ETH<\/td>3 333 EUR<\/td>+33,3 %<\/td>4 444 EUR<\/td><\/tr>
50 ETH<\/td>5 000 EUR<\/td>+100 %<\/td>10 000 EUR<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Pool illustratif de 100 ETH \/ 250 000 EUR (k = 25 000 000), prix initial 2 500 EUR, hors frais.<\/figcaption><\/figure>

Le prix marginal, c’est la pente de la courbe<\/h2>

Sur une courbe \u00e0 produit constant, le prix instantan\u00e9 vaut exactement le rapport des r\u00e9serves, y divis\u00e9 par x, ce qui correspond \u00e0 la pente de la courbe au point o\u00f9 se trouve le pool. C’est le prix marginal, celui d’une transaction infinit\u00e9simale. D\u00e8s qu’un ordre a une taille r\u00e9elle, le prix d’ex\u00e9cution devient la moyenne de tous les prix marginaux travers\u00e9s pendant le mouvement, et cette moyenne est toujours moins favorable au preneur que le prix affich\u00e9 au d\u00e9part. L’\u00e9cart entre les deux porte un nom: le glissement. Il n’a rien d’arbitraire; il se lit directement sur la g\u00e9om\u00e9trie de l’hyperbole.<\/p>

D’o\u00f9 l’importance de la profondeur. Doubler les r\u00e9serves tout en gardant le m\u00eame rapport aplatit localement la courbe et divise par deux l’impact d’un ordre donn\u00e9. La \u00ab liquidit\u00e9 \u00bb d’un pool n’est rien d’autre que cette platitude locale: plus la valeur immobilis\u00e9e (TVL) est \u00e9lev\u00e9e, plus la courbe est plate pr\u00e8s du prix courant, plus les gros ordres passent sans douleur. Un carnet d’ordres \u00e9pais joue le m\u00eame r\u00f4le avec une pile d’ordres limites; l’AMM, lui, le fait avec une seule \u00e9quation et un r\u00e9servoir de capital. Ce prix marginal, lisible \u00e0 tout instant et \u00e0 moindre co\u00fbt, fait aussi de chaque pool un flux de prix on-chain, donc un oracle potentiel; c’est \u00e0 la fois sa force (la composabilit\u00e9) et sa faiblesse (la manipulation), que nous avons d\u00e9taill\u00e9es dans notre dossier sur la courbe devenue oracle<\/a>. Pour qui veut visualiser l’\u00e9cart entre prix de r\u00e9f\u00e9rence et prix r\u00e9ellement ex\u00e9cut\u00e9, notre guide du papertrade<\/a> part du m\u00eame constat.<\/p>

La somme constante : le degr\u00e9 z\u00e9ro de la courbe<\/h2>

\u00c0 l’autre bout du spectre se trouve la somme constante: x + y = k. Sa courbe est une droite de pente -1. Le prix y est fig\u00e9 \u00e0 1 pour 1, quel que soit le volume, donc le glissement est strictement nul. Pour deux actifs r\u00e9ellement interchangeables \u00e0 parit\u00e9 stricte, ce serait l’invariant parfait. Le probl\u00e8me est fatal: si le prix ext\u00e9rieur s’\u00e9carte ne serait-ce que d’un cheveu, un arbitragiste ach\u00e8te sans fin l’actif devenu bon march\u00e9 au prix de parit\u00e9, jusqu’\u00e0 vider enti\u00e8rement une des deux r\u00e9serves. La droite ne prot\u00e8ge pas le pool; elle l’offre. C’est l’exact miroir du produit constant, qui prot\u00e8ge la solvabilit\u00e9 au prix du glissement.<\/p>

Aucun AMM de production n’utilise la somme constante \u00e0 l’\u00e9tat pur. L’histoire des teneurs de march\u00e9 automatis\u00e9s commence d’ailleurs ailleurs, avec la r\u00e8gle de notation logarithmique de Robin Hanson (LMSR), con\u00e7ue pour les march\u00e9s de pr\u00e9diction, o\u00f9 une fonction de co\u00fbt fixe le prix d’un pari. Les AMM de la DeFi ont repris cette id\u00e9e d’une fonction qui fait office de contrepartie, mais en l’adaptant au n\u00e9goce de jetons. La somme constante, elle, ne survit aujourd’hui que comme composant, m\u00e9lang\u00e9e \u00e0 une autre courbe pour en aplatir le centre, comme on va le voir avec StableSwap.<\/p>

La moyenne g\u00e9om\u00e9trique pond\u00e9r\u00e9e : Balancer g\u00e9n\u00e9ralise<\/h2>

Entre la droite et l’hyperbole, il existe toute une famille de courbes. Balancer en a tir\u00e9 la g\u00e9n\u00e9ralisation la plus nette avec sa fonction de valeur V = \u220f B\u1d62^w\u1d62, o\u00f9 chaque B\u1d62 est la r\u00e9serve d’un actif et chaque w\u1d62 son poids normalis\u00e9, la somme des poids valant 1 (voir le livre blanc Balancer<\/a>). Le produit constant x\u00b7y=k n’en est qu’un cas particulier: deux actifs, chacun pond\u00e9r\u00e9 \u00e0 0,5, soit la racine carr\u00e9e de leur produit. En changeant les poids, on obtient un pool 80\/20 ou un panier de huit actifs qui se r\u00e9\u00e9quilibre tout seul, \u00e0 la mani\u00e8re d’un indice. Le prix instantan\u00e9 d’un actif par rapport \u00e0 un autre vaut alors le rapport (B\u1d62\/w\u1d62) divis\u00e9 par (B\u2092\/w\u2092).<\/p>

Un poids plus \u00e9lev\u00e9 aplatit la courbe pour cet actif (moins de glissement) mais augmente l’exposition du pool \u00e0 ses variations. Cette souplesse a des usages concrets: un pool 98\/2 sert d’outil de lancement de jeton (le Liquidity Bootstrapping Pool), o\u00f9 le poids tr\u00e8s d\u00e9s\u00e9quilibr\u00e9 fait baisser le prix de fa\u00e7on contr\u00f4l\u00e9e au fil des ventes, d\u00e9courageant les bots. Les poids deviennent ainsi un levier de conception \u00e0 part enti\u00e8re, au m\u00eame titre que l’invariant: Balancer d\u00e9montre qu’on peut \u00e9crire presque n’importe quelle politique de march\u00e9 dans une seule fonction de valeur.<\/p>

StableSwap : fusionner deux courbes en une<\/h2>

Pour les stablecoins, ni la droite (trop fragile) ni l’hyperbole (trop de glissement autour de la parit\u00e9) ne conviennent. Michael Egorov a r\u00e9solu le dilemme en 2019 avec l’invariant StableSwap de Curve, qui m\u00e9lange les deux: quasi plat pr\u00e8s de l’\u00e9quilibre, comme une somme constante, et hyperbolique dans les extr\u00eames, comme un produit constant, pour ne jamais se vider (voir le papier StableSwap<\/a>). Un seul param\u00e8tre, le coefficient d’amplification A, r\u00e8gle le point de bascule entre les deux r\u00e9gimes. L’invariant s’\u00e9crit A\u00b7n^n\u00b7\u03a3x + D = A\u00b7D\u00b7n^n + D^(n+1)\/(n^n\u00b7\u220fx), o\u00f9 D est la valeur totale du pool \u00e0 l’\u00e9quilibre et n le nombre d’actifs.<\/p>

Le point important, souvent mal compris, est que A n’est pas un bouton de performance mais un bouton de risque. Un A \u00e9lev\u00e9 aplatit fortement la courbe autour de la parit\u00e9: id\u00e9al tant que les deux actifs valent la m\u00eame chose, catastrophique si l’un d\u00e9croche, car la liquidit\u00e9 cens\u00e9e amortir le choc est concentr\u00e9e exactement l\u00e0 o\u00f9 elle cesse d’\u00eatre utile. Egorov lui-m\u00eame a r\u00e9sum\u00e9 StableSwap comme un \u00ab Uniswap avec effet de levier \u00bb. C’est le premier invariant explicitement fa\u00e7onn\u00e9 pour un usage pr\u00e9cis, et il a donn\u00e9 \u00e0 Curve sa place de r\u00e9f\u00e9rence du stablecoin on-chain. Les grandes familles d’invariants se r\u00e9sument ainsi:<\/p>

Famille<\/th>Invariant<\/th>Forme<\/th>Glissement<\/th>Exemple<\/th><\/tr><\/thead>
Somme constante<\/td>x + y = k<\/td>droite<\/td>nul, mais drainable<\/td>composant seul<\/td><\/tr>
Produit constant<\/td>x \u00b7 y = k<\/td>hyperbole<\/td>cro\u00eet avec la taille<\/td>Uniswap v2<\/td><\/tr>
Moyenne pond\u00e9r\u00e9e<\/td>\u220f B\u1d62^w\u1d62 = k<\/td>hyperbole pond\u00e9r\u00e9e<\/td>selon les poids<\/td>Balancer<\/td><\/tr>
Hybride StableSwap<\/td>somme + produit, r\u00e9gl\u00e9 par A<\/td>plate au centre, raide aux bords<\/td>quasi nul pr\u00e8s de la parit\u00e9<\/td>Curve<\/td><\/tr>
Liquidit\u00e9 concentr\u00e9e<\/td>x \u00b7 y = k reparam\u00e9tr\u00e9<\/td>hyperbole born\u00e9e<\/td>nul dans la fourchette<\/td>Uniswap v3\/v4<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Les cinq grandes familles d’invariants d’AMM et leur comportement.<\/figcaption><\/figure>

La liquidit\u00e9 concentr\u00e9e : la m\u00eame courbe, reparam\u00e9tr\u00e9e<\/h2>

La grande rupture de 2021, Uniswap v3, n’a pas invent\u00e9 un nouvel invariant. C’est toujours x\u00b7y=k. L’astuce est de laisser chaque fournisseur de liquidit\u00e9 choisir une fourchette de prix et d’ajouter des \u00ab r\u00e9serves virtuelles \u00bb pour que, \u00e0 l’int\u00e9rieur de cette fourchette, sa position se comporte comme un pool v2 bien plus profond. Au sein d’un intervalle, la liquidit\u00e9 est r\u00e9sum\u00e9e par un param\u00e8tre L tel que L = \u221a(x\u00b7y), et les prix sont d\u00e9coup\u00e9s en \u00ab ticks \u00bb discrets: le prix au tick i vaut 1,0001 puissance i, soit un point de base par tick. Le r\u00e9sultat est une efficacit\u00e9 du capital pouvant atteindre 4 000 fois celle de la v2, avec des paliers de frais \u00e0 0,05 %, 0,30 % et 1,00 % (voir l’annonce Uniswap v3<\/a>).<\/p>

Il y a un revers, et il est g\u00e9om\u00e9trique lui aussi. Concentrer la liquidit\u00e9 aplatit la courbe l\u00e0 o\u00f9 on la place et la laisse vide ailleurs. Hors de sa fourchette, un LP se retrouve \u00e0 100 % dans un seul des deux actifs et ne touche plus aucun frais: il est devenu un ordre limite qui ne travaille plus. L’efficacit\u00e9 du capital a donc un prix: une gestion active permanente et une fragmentation de la liquidit\u00e9 entre des milliers de micro-positions, chacune n’\u00e9tant active que sur une mince tranche de prix. Uniswap v4 conserve exactement ce m\u00e9canisme et y ajoute les hooks, sur lesquels nous reviendrons; la courbe de base, elle, n’a pas chang\u00e9 depuis 2018.<\/p>

Une autre fa\u00e7on de discr\u00e9tiser la courbe a vu le jour avec le Liquidity Book de Trader Joe, repris par Meteora sur Solana sous le nom de DLMM: la liquidit\u00e9 est rang\u00e9e dans des \u00ab bins \u00bb de prix, et \u00e0 l’int\u00e9rieur de chaque bin la r\u00e8gle redevient une somme constante, donc un glissement nul tant que l’on reste dans le bin. On retrouve ici, par un autre chemin, la vieille droite x + y = k, cette fois dompt\u00e9e parce qu’elle est enferm\u00e9e dans un intervalle minuscule. La morale ne change pas: il n’existe pas de courbe magique, seulement des fa\u00e7ons de d\u00e9couper et de recoller les deux courbes de base.<\/p>

Ce que l’invariant garantit : la th\u00e9orie CFMM<\/h2>

Pourquoi se donner tant de mal avec une courbe plut\u00f4t qu’avec un carnet d’ordres? Parce que la courbe offre des garanties math\u00e9matiques qu’un carnet n’a pas. Angeris et Chitra ont \u00e9tudi\u00e9 les constant function market makers comme une classe et en ont tir\u00e9 deux r\u00e9sultats structurants. D’abord l’ind\u00e9pendance au chemin: le r\u00e9sultat d’un \u00e9change ne d\u00e9pend que des montants nets entrants et sortants, pas de l’ordre dans lequel les op\u00e9rations arrivent. Ensuite, et surtout, des bornes inf\u00e9rieures de solvabilit\u00e9: tant que la fonction d’\u00e9change est bien choisie, aucune suite de transactions ne peut vider les r\u00e9serves du pool, et les auteurs en donnent une preuve sous forme de minorations sur la valeur d\u00e9tenue.<\/p>

L’ind\u00e9pendance au chemin a une cons\u00e9quence pratique majeure. Puisque seul le solde net compte, on peut d\u00e9couper un gros ordre en tranches, les \u00e9taler dans le temps ou les router \u00e0 travers plusieurs pools sans jamais l\u00e9ser le contrat: le r\u00e9sultat final est identique. C’est pr\u00e9cis\u00e9ment ce qui rend possibles les ex\u00e9cutions progressives (comme les TWAMM, qui vendent un peu \u00e0 chaque bloc) et le routage des agr\u00e9gateurs, une propri\u00e9t\u00e9 qu’un carnet d’ordres, sensible \u00e0 l’ordre d’arriv\u00e9e, n’offre pas.<\/p>

G\u00e9om\u00e9triquement, l’invariant est une courbe convexe qui agit comme une fonction de potentiel: l’arbitrage pousse toujours le prix marginal vers celui du march\u00e9 ext\u00e9rieur, et la convexit\u00e9 garantit qu’on ne peut pas \u00ab pi\u00e9ger \u00bb le contrat pour obtenir une ex\u00e9cution absurde. On ne peut que l’arbitrer \u00e0 la marge. Cette convexit\u00e9 a une autre vertu: trouver la meilleure route \u00e0 travers plusieurs pools revient \u00e0 r\u00e9soudre un probl\u00e8me d’optimisation convexe, ce qui donne aux agr\u00e9gateurs une base th\u00e9orique solide pour router un ordre sans se perdre. C’est une s\u00fbret\u00e9 par construction: l\u00e0 o\u00f9 un carnet d’ordres peut \u00eatre vid\u00e9 par un ordre malicieux ou un bug d’appariement, un AMM correctement sp\u00e9cifi\u00e9 reste solvable par d\u00e9finition. Mais cette m\u00eame convexit\u00e9 qui garantit la solvabilit\u00e9 impose un co\u00fbt, et c’est tout le sujet de la section suivante.<\/p>

L’arbitrage, moteur et imp\u00f4t<\/h2>

Un pool ne sait rien du monde ext\u00e9rieur. La seule force qui aligne son prix marginal sur celui des autres march\u00e9s est l’arbitrage. Chaque fois que le prix bouge ailleurs, le pool est momentan\u00e9ment mal \u00e9valu\u00e9, et un arbitragiste corrige l’\u00e9cart en empochant la diff\u00e9rence. Cette diff\u00e9rence est une perte s\u00e8che pour les LP. Les chercheurs Jason Milionis, Ciamac Moallemi et Tim Roughgarden l’ont baptis\u00e9e LVR, pour loss-versus-rebalancing, et l’ont chiffr\u00e9e \u00e0 environ \u03c3\u00b2\/8 par unit\u00e9 de temps (travaux soutenus par a16z crypto<\/a>): un pool ETH\/EUR \u00e0 5 % de volatilit\u00e9 quotidienne perd \u00e0 lui seul environ 3,125 points de base par jour, soit pr\u00e8s de 11 % par an, rien qu’\u00e0 cause de l’arbitrage. Comme le r\u00e9sume l’\u00e9quipe de recherche d’a16z, \u00ab un AMM ne peut r\u00e9ussir que s’il a des LP contents, ce qui veut dire que les revenus de frais doivent cro\u00eetre avec le LVR \u00bb.<\/p>

Le calcul de rentabilit\u00e9 est brutal. Pour qu’un frais de 0,30 % couvre tout juste le LVR, a16z<\/a> estime qu’il faut un volume quotidien de l’ordre de 10 % de la valeur du pool: en dessous, le fournisseur de liquidit\u00e9 subventionne les arbitragistes. C’est pourquoi tant de pools ne tiennent que gr\u00e2ce aux \u00e9missions de jetons, un revenu qui vient de l’ext\u00e9rieur de la courbe et non du n\u00e9goce, et qui s’\u00e9vapore d\u00e8s que les incitations cessent.<\/p>

Le LVR se distingue de la perte intrins\u00e8que (impermanent loss), qui mesure l’\u00e9cart avec une simple d\u00e9tention des actifs plut\u00f4t qu’avec une strat\u00e9gie de r\u00e9\u00e9quilibrage, mais les deux pointent la m\u00eame r\u00e9alit\u00e9: fournir de la liquidit\u00e9, c’est vendre de la volatilit\u00e9 \u00e0 perte. La perte intrins\u00e8que est sym\u00e9trique et ne d\u00e9pend que de l’ampleur de la variation de prix, pas de son sens, comme le d\u00e9taille Binance Academy<\/a>.<\/p>

Variation de prix<\/th>Perte intrins\u00e8que vs d\u00e9tention<\/th><\/tr><\/thead>
1,25x<\/td>0,6 %<\/td><\/tr>
1,5x<\/td>2,0 %<\/td><\/tr>
2x<\/td>5,7 %<\/td><\/tr>
3x<\/td>13,4 %<\/td><\/tr>
4x<\/td>20,0 %<\/td><\/tr>
5x<\/td>25,5 %<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Perte intrins\u00e8que d’un pool 50\/50 \u00e0 produit constant selon la variation relative. Une hausse de 2x produit la m\u00eame perte qu’une baisse de moiti\u00e9.<\/figcaption><\/figure>

Sur la cha\u00eene, le LVR se r\u00e9alise sous forme de MEV: l’arbitrage pur en est la face b\u00e9nigne, le sandwich la face toxique, un sujet que nous avons diss\u00e9qu\u00e9 dans notre dossier sur la rente du validateur<\/a>. Et puisque c’est la volatilit\u00e9 qui alimente la formule \u03c3\u00b2\/8, les rendez-vous macro comme le FOMC font m\u00e9caniquement gonfler la facture des LP, comme nous l’expliquions \u00e0 propos de la volatilit\u00e9 implicite avant le 28 octobre<\/a>.<\/p>

Les frais : le seul terme que le concepteur contr\u00f4le<\/h2>

L’invariant et le LVR rel\u00e8vent de la physique du syst\u00e8me; les frais sont le seul levier que le concepteur r\u00e8gle vraiment. Un frais \u00e9paissit la courbe: l’\u00e9change doit laisser la fonction constante apr\u00e8s pr\u00e9l\u00e8vement, ce qui cr\u00e9e une bande de non-arbitrage (un \u00e9cart achat-vente) autour du prix marginal. Tant que le prix ext\u00e9rieur reste dans cette bande, l’arbitragiste n’a pas int\u00e9r\u00eat \u00e0 agir, et les LP conservent leur mise. C’est la seule recette qui vienne compenser, de l’autre c\u00f4t\u00e9 du grand livre, le LVR, la perte intrins\u00e8que et le co\u00fbt d’opportunit\u00e9.<\/p>

Car le capital immobilis\u00e9 dans un pool ne gagne ni le taux sans risque, ni les quelque 3 % du staking d’ETH. Un frais fixe de 0,30 %, h\u00e9rit\u00e9 de la v1, ne suit pas la volatilit\u00e9: trop bas en p\u00e9riode agit\u00e9e, il laisse filer le LVR; trop haut en p\u00e9riode calme, il fait fuir le volume. D’o\u00f9 l’int\u00e9r\u00eat des frais dynamiques, qui montent quand le march\u00e9 s’emballe pour mieux coller \u00e0 la perte. Derni\u00e8re complication en date: le \u00ab fee switch \u00bb d’Uniswap (UNIfication), activ\u00e9 depuis fin 2025 sur Ethereum puis d\u00e9but 2026 sur les L2, pr\u00e9l\u00e8ve d\u00e9sormais entre 10 % et 25 % des frais des LP pour racheter et br\u00fbler de l’UNI (voir le d\u00e9tail de la proposition<\/a>). L’\u00e9quation compte donc un troisi\u00e8me ayant droit, \u00e0 c\u00f4t\u00e9 du LP et de l’arbitragiste. Pour la mise en pratique c\u00f4t\u00e9 fournisseur, nous renvoyons \u00e0 notre guide pratique du LP<\/a>.<\/p>

Accorder l’invariant en 2026 : hooks, ench\u00e8res, allocation pr\u00e9dictive<\/h2>

La grande tendance de 2026 est que l’invariant devient programmable. Les hooks d’Uniswap v4 permettent d’ins\u00e9rer du code \u00e0 des moments pr\u00e9cis (avant ou apr\u00e8s un \u00e9change, lors d’un d\u00e9p\u00f4t ou d’un retrait) pour imposer des frais dynamiques, mettre aux ench\u00e8res le droit de fixer le frais (le mod\u00e8le am-AMM) ou injecter de la liquidit\u00e9 juste-\u00e0-temps. Cette programmabilit\u00e9 a son revers: chaque hook est du code suppl\u00e9mentaire entre le trader et la courbe, donc une surface d’attaque de plus, et un hook mal \u00e9crit peut pi\u00e9ger un pool par ailleurs irr\u00e9prochable. Le CoW AMM, lui, remplace l’\u00e9change continu par des ench\u00e8res par lots r\u00e9gl\u00e9es \u00e0 un prix uniforme, o\u00f9 des solveurs rivalisent pour d\u00e9placer la courbe le plus favorablement possible pour les LP, ce qui neutralise \u00e0 la fois le LVR et les sandwichs (voir la documentation CoW<\/a>).<\/p>

L’autre front est celui des incitations, et l’actualit\u00e9 du jour l’illustre. Le 22 octobre 2026 \u00e0 00 h 00 UTC, Aerodrome et Velodrome ont fusionn\u00e9 pour lancer \u00ab Aero \u00bb, un m\u00eame protocole d\u00e9ploy\u00e9 sur sept cha\u00eenes (dont Base, Ethereum et Arbitrum), qui remplace le vote hebdomadaire ve(3,3) par un m\u00e9canisme baptis\u00e9 \u00ab allocation pr\u00e9dictive \u00bb, o\u00f9 les d\u00e9tenteurs d’AERO stak\u00e9 (sAERO) orientent les r\u00e9compenses vers les pools (voir The Block<\/a>). La le\u00e7on est que le design d’un AMM ne se limite plus \u00e0 la forme de la courbe: la fa\u00e7on dont on dirige les \u00e9missions de jetons vers tel ou tel pool en fait d\u00e9sormais partie int\u00e9grante, car c’est elle qui d\u00e9cide o\u00f9 la liquidit\u00e9, donc la profondeur, ira se poster.<\/p>

L’\u00e9tat du march\u00e9 : o\u00f9 tourne la machine<\/h2>

Dans les faits, une poign\u00e9e de machines domine. Uniswap d\u00e9passe les 70 milliards de dollars de volume mensuel et p\u00e8se environ 34 % du volume des DEX, loin devant ses suivants (crypto.news<\/a>); sa version v4 a rejoint puis d\u00e9pass\u00e9 la v3 en volume et g\u00e9n\u00e8re environ 34 % de frais de plus par dollar \u00e9chang\u00e9, gr\u00e2ce \u00e0 la liquidit\u00e9 concentr\u00e9e et aux hooks (DefiLlama<\/a>). Curve maintient une valeur immobilis\u00e9e autour de 1,4 milliard de dollars et reste la r\u00e9f\u00e9rence du stablecoin (DefiLlama<\/a>). C\u00f4t\u00e9 Solana, Raydium, Orca et Meteora traitent ensemble un volume quotidien qui se compte en milliards de dollars. Le rapport entre volume DEX et volume CEX au comptant a touch\u00e9 un record d’environ 24 % en juillet avant de retomber autour de 20 % cet automne (The Block<\/a>).<\/p>

Du c\u00f4t\u00e9 des prix, l’ETH s’\u00e9change autour de 2 145 EUR<\/a>, l’UNI autour de 6,32 EUR<\/a> et le CRV autour de 0,33 EUR<\/a> pour une capitalisation d’environ 521 millions d’euros. Le tableau ci-dessous situe les principales machines et l’invariant qui les anime.<\/p>

Protocole<\/th>R\u00e9seaux<\/th>Invariant \/ mod\u00e8le<\/th>Rep\u00e8re 2026<\/th><\/tr><\/thead>
Uniswap v4<\/td>~40 cha\u00eenes<\/td>produit constant concentr\u00e9 + hooks<\/td>>70 Mrd $\/mois (v3+v4), a d\u00e9pass\u00e9 la v3<\/td><\/tr>
Curve<\/td>Ethereum + L2<\/td>hybride StableSwap<\/td>TVL ~1,4 Mrd $, r\u00e9f\u00e9rence stablecoin<\/td><\/tr>
Aero (ex-Aerodrome\/Velodrome)<\/td>7 cha\u00eenes<\/td>produit constant + allocation pr\u00e9dictive<\/td>fusion lanc\u00e9e le 22 oct 2026<\/td><\/tr>
Balancer<\/td>Ethereum + L2<\/td>moyenne g\u00e9om\u00e9trique pond\u00e9r\u00e9e<\/td>paniers multi-actifs, CoW AMM<\/td><\/tr>
Raydium \/ Orca<\/td>Solana<\/td>produit constant \/ liquidit\u00e9 concentr\u00e9e<\/td>acteurs majeurs sur Solana<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Principaux AMM et leur invariant, octobre 2026.<\/figcaption><\/figure>

AMF, MiCA et le protocole qui n’est pas un interm\u00e9diaire<\/h2>

Une \u00e9quation ne se r\u00e9gule pas; les acteurs qui l’entourent, si. Le consid\u00e9rant 22 du r\u00e8glement MiCA exclut de son champ les services fournis de mani\u00e8re \u00ab enti\u00e8rement d\u00e9centralis\u00e9e sans aucun interm\u00e9diaire \u00bb, mais il ne d\u00e9finit nulle part ce qu’est une d\u00e9centralisation \u00ab enti\u00e8re \u00bb, et un AMM dot\u00e9 d’une interface web, d’une tr\u00e9sorerie et d’une DAO reste un cas contest\u00e9. En France, le r\u00e9gime transitoire PSAN s’est \u00e9teint le 1er juillet 2026: un prestataire doit d\u00e9sormais d\u00e9tenir l’agr\u00e9ment CASP complet d\u00e9livr\u00e9 par l’AMF, sous peine de devoir organiser une liquidation ordonn\u00e9e (voir l’avis de l’AMF<\/a>). Les d\u00e9riv\u00e9s crypto (perp\u00e9tuels et futures), eux, rel\u00e8vent de MiFID II et non de MiCA.<\/p>

Aux \u00c9tats-Unis, la SEC a clos en f\u00e9vrier 2025 son enqu\u00eate sur Uniswap Labs sans aucune action (CoinDesk<\/a>). La ligne de fond est partout la m\u00eame: le r\u00e9gulateur vise la porte d’entr\u00e9e (l’interface, la conservation des actifs, l’\u00e9mission), pas l’invariant lui-m\u00eame. La courbe, en tant qu’objet math\u00e9matique public, n’appartient \u00e0 personne et ne peut pas, \u00e0 elle seule, recevoir d’agr\u00e9ment.<\/p>

Ce que la courbe ne pourra jamais effacer<\/h2>

Tout le design d’un AMM tient dans un triangle: efficacit\u00e9 du capital, faible glissement, faible risque. Aucune courbe ne donne les trois \u00e0 la fois. La somme constante supprime le glissement mais se laisse vider; le produit constant ne se vide jamais mais impose glissement et LVR; StableSwap est plat pr\u00e8s de la parit\u00e9 mais fragile quand elle casse; la liquidit\u00e9 concentr\u00e9e est efficace mais exige une gestion de tous les instants. Choisir un invariant, c’est choisir o\u00f9 faire porter le compromis, pas l’\u00e9liminer.<\/p>

Il y a enfin une v\u00e9rit\u00e9 que nulle g\u00e9om\u00e9trie n’efface: face \u00e0 un intervenant mieux inform\u00e9, la courbe perd toujours. Le LVR est structurel, inscrit dans la convexit\u00e9 m\u00eame qui garantit la solvabilit\u00e9. Les frais, les frais dynamiques, les ench\u00e8res par lots et l’allocation pr\u00e9dictive ne sont qu’une longue tentative pour que le revenu suive enfin la perte. Comme le dit Hayden Adams, fondateur d’Uniswap, \u00ab les AMM n’en sont qu’\u00e0 leurs d\u00e9buts \u00bb (CryptoPotato<\/a>). L’\u00e9quation, elle, est rest\u00e9e d’une simplicit\u00e9 d\u00e9sarmante depuis 2018; c’est tout le reste, l’art de l’accorder, qui est devenu le vrai m\u00e9tier.<\/p>

Foire aux questions<\/h2>

Qu’est-ce qu’un invariant dans un AMM ?<\/h3>

C’est la fonction des r\u00e9serves qu’un automated market maker maintient constante \u00e0 chaque \u00e9change. Elle relie les quantit\u00e9s d’actifs du pool par une r\u00e8gle fixe (par exemple le produit x\u00b7y=k) et c’est elle, et non un carnet d’ordres, qui d\u00e9termine le prix et le glissement de chaque transaction.<\/p>

Pourquoi la formule x\u00b7y=k provoque-t-elle du glissement ?<\/h3>

Parce que la courbe est une hyperbole qui se redresse \u00e0 mesure qu’on vide un c\u00f4t\u00e9 du pool. Chaque unit\u00e9 achet\u00e9e co\u00fbte un peu plus que la pr\u00e9c\u00e9dente, si bien que le prix moyen d’ex\u00e9cution est toujours moins favorable que le prix affich\u00e9 au d\u00e9part. Plus l’ordre est gros par rapport aux r\u00e9serves, plus l’\u00e9cart grandit.<\/p>

Quelle est la diff\u00e9rence entre produit constant et StableSwap ?<\/h3>

Le produit constant (x\u00b7y=k) dessine une hyperbole adapt\u00e9e \u00e0 n’importe quelle paire volatile, au prix d’un glissement notable. StableSwap m\u00e9lange une somme constante, presque plate pr\u00e8s de la parit\u00e9, avec un produit constant dans les extr\u00eames, et r\u00e8gle le dosage via un coefficient d’amplification A. R\u00e9sultat: un glissement quasi nul entre actifs cens\u00e9s valoir la m\u00eame chose, mais une fragilit\u00e9 accrue si la parit\u00e9 casse.<\/p>

La liquidit\u00e9 concentr\u00e9e change-t-elle l’invariant ?<\/h3>

Non. Uniswap v3 et v4 utilisent toujours le produit constant x\u00b7y=k, mais le reparam\u00e8trent avec des r\u00e9serves virtuelles pour qu’une position limit\u00e9e \u00e0 une fourchette de prix se comporte comme un pool bien plus profond. Cela multiplie l’efficacit\u00e9 du capital, jusqu’\u00e0 4 000 fois, au prix d’une gestion active et d’une fragmentation de la liquidit\u00e9.<\/p>

Qu’est-ce que le LVR et pourquoi est-il in\u00e9vitable ?<\/h3>

Le LVR (loss-versus-rebalancing) est la perte que subissent les fournisseurs de liquidit\u00e9 face aux arbitragistes qui r\u00e9alignent le prix du pool sur le march\u00e9 ext\u00e9rieur. Il cro\u00eet avec la volatilit\u00e9 (environ \u03c3\u00b2\/8 par unit\u00e9 de temps) et d\u00e9coule de la convexit\u00e9 de la courbe. Seuls les frais peuvent le compenser, ce qui explique toute la recherche sur les frais dynamiques.<\/p>